5. Estandardització d'una distribució

Índex | Anterior | Següent

 

Transformacions lineals

Quan una variable x₁ és sotmesa a una transformació de la forma

x₂ = a x₁ + b

la nova variable x₂ presenta una distribució tal que

• la nova mitjana és μ₂ = a μ₁ + b
• la nova desviació estàndard és σ₂ =a σ₁
• el biaix i la curtosi no s'alteren

Sigui la distribució {3, 3, 4, 6, 7}. Tenim que

μ = (3+3+4+6+7) / 5 = 4,6

I pel que fa a la desviació estàndard,

σ² = [(-1,6)²+(-1,6)²+(-0,6)²+1,4²+2,4²] / 5 = 2,64;
σ = 2,64^1/2 = 1,625

Si ara fem x₂ = 2 x₁ + 3 en resultarà una nova distribució, {9, 9, 11, 15, 17}, en la qual

μ = (9+9+11+15+17) / 5 = 12,2
(que és el mateix que 2 . 4,6 + 3)

σ² = [(-3,2)²+(-3,2)²+(-1,2)²+2,8²+4,8²] / 5 = 10,56;
σ = 10,56^1/2 = 3,25
(que és el mateix que 2 . 1,625)

 

Variable tipificada

Tipificar una variable és aplicar-hi una transformació lineal en la qual a=1/σ i b=μ/σ; és a dir,

z = ( 1 / σ ) x - ( μ / σ )

o, el que és el mateix,

z = ( x - μ ) / σ

La distribució que en resulta té les propietats següents:

• μ = 0
• σ = 1