12. Estimació de la mitjana aritmètica, I

Índex | Anterior | Següent | Taules

 

Teorema del límit central

El teorema del límit central afirma que, donada una distribució amb una mitjana μ i una desviació estàndard σ, la distribució de les mitjanes aritmètiques mostrals

• tendeix a la normalitat, tant més com més gran sigui la mida de les mostres, i això encara que la distribució poblacional no ho sigui,
• la mitjana aritmètica de totes les mitjanes aritmètiques mostrals coincideix amb la mitjana poblacional: μ_M = μ.
• l'error típic de la distribució de les mitjanes aritmètiques mostrals i la desviació estàndard poblacional mantenen la relació σ_M² = σ² / N

Suposem la població U={3, 4, 5, 9}. Per a aquesta població tenim:

μ = (3+4+5+9) / 4 = 5,25
σ² = ([-2,25]²+[-1,25]²+[-0,25]²+3,75²) / 4 = 5,188

A continuació establim totes les mostres possibles de (per exemple) 2 elements, i per a cada mostra calculem la mitjana aritmètica:

M_{{3, 3}} = 3,0
M_{{3, 4}} = 3,5
M_{{3, 5}} = 4,0
M_{{3, 9}} = 6,0
M_{{4, 3}} = 3,5
M_{{4, 4}} = 4,0
M_{{4, 5}} = 4,5
M_{{4, 9}} = 6,5
M_{{5, 3}} = 4,0
M_{{5, 4}} = 4,5
M_{{5, 5}} = 5,0
M_{{5, 9}} = 7,0
M_{{9, 3}} = 6,0
M_{{9, 4}} = 6,5
M_{{9, 5}} = 7,0
M_{{9, 9}} = 9,0

Per a aquesta distribució de mitjanes aritmètiques mostrals tenim que

μ_M = (3+3,5+4+6+3,5+4+4,5+6,5+4+4,5+5+7+6+6,5+7+9) / 16 = 5,25

valor que coincideix exactament amb la mitjana aritmètica poblacional.

Pel que fa al quadrat de l'error típic, tenim

σ_M² = [(3-5,25)² + (3,5-5,25)² + ... + (7-5,25)² + (9-5,25)²] / 16 = 2,594

Podem comprovar que aquest valor, 2,594, coincideix exactament amb el valor donat per l'expressió

σ_M² = σ² / N = 5,188 / 2 = 2,594

Anàlogament podríem comprovar, fent els càlculs corresponents, que la distribució mostral te un biaix i una curtosi inferiors als de la distribució poblacional: la distribució mostral s'acosta més a la normalitat. N'és un símptoma el fet que la mediana, que en la distribució poblacional és de 4,5, en la distribució de les mitjanes aritmètiques mostrals passa a ser de 4,75, i s'acosta doncs més a la mitjana aritmètica poblacional, 5,25.

 

La paradoxa de la mida de la mostra

El teorema del límit central té dos aspectes sorprenents i contraintuïtius:

• Que la distribució de les mitjanes mostrals sigui aproximadament normal encara que la població no ho sigui.
• Que l'interval de confiança depengui exclusivament de la mida de la mostra, no pas de la mida de la població.

 

Conseqüències

De la segona propietat de les que s'han esmentat en el primer apartat deduïm que la mitjana aritmètica d'una mostra és un estimador no esbiaixat de la mitjana aritmètica poblacional.

Com a conseqüència de la primera propietat, podem construir intervals de confiança, ja que la distribució mostral és aproximadament normal. Ens cal, però, conèixer l'error típic.

Per la tercera propietat tenim que, si coneixem la desviació estàndard poblacional, podem calcular fàcilment l'error estàndard. Si no coneixem la σ poblacional, haurem d'estimar-la, de la manera que veurem més endavant.

 

Procediment d'estimació de μ

Començarem amb un supòsit poc freqüent, però molt interessant des del punt de vista teòric:

• Coneixem M i σ, i
• La mostra és prou gran per a considerar normal la distribució mostral.

El procediment és el següent:

1. Seleccionem un interval de confiança P, que s'adeqüi a les nostres necessitats.
2. Estimem μ per punt fent μ = M.
3. A partir de σ i N calculem σ_M.
4. Busquem el valor de z_c a les taules per al valor de P_z (atenció a la forma de presentació de la taula!).
5. A partir de z_c i de σ_M calculem l'interval.

També es pot plantejar el problema invers: conegut l'interval, calcular P. En aquest cas s'inverteix l'ordre d'aplicació de les relacions matemàtiques dels dos darrers passos: primer calculem z_c i després les taules ens donen P.

En la fabricació d'una determinada peça mecànica sabem que la desviació estàndard del pes és de 4,25 grams. Hem extret una mostra de 80 peces i les hem pesades, i hem obtingut una mitjana de 552,3 grams. Volem conèixer el pes de les peces corresponent a un interval de confiança del 95%.

1) Estimem μ per punt:

μ = 552,3

2) Càlcul de σ_M

σ_M² = 4,25² / 50 = 0,361
σ_M = 0,601

3) Consulta de les taules:

P_z = P / 2 = 0,475 =>
z_c=1,96

4) Càlcul de l'interval:

μ = M ± σ_M z_c = 552,3 ± 1,96 . 0,601 =>
553,5 > μ > 551,1

Però si, com és més habitual, no coneixem σ, haurem d'arbitrar algun procediment per estimar-la.

I si la mostra és petita, no podrem fer servir la relació entre z i percentils, i haurem de cercar un procediment diferent.