13. Estimació de la desviació estàndard

Distribució mostral de la desviació estàndard

De la mateixa manera que definim una mitjana aritmètica mostral, M, fent servir la mateixa fórmula que per a la mitjana aritmètica poblacional μ, també podem definir una desviació estàndard mostral s' usant la mateixa fórmula que fem servir per a definir la desviació estàndard poblacional, σ.

Aquestes desviacions estàndard de les mostres, s', constitueixen una distribució. Aquesta distribució té una mitjana aritmètica, μ_s', i una desviació estàndard, σ_s'.

Es demostra que

σ_s'² = σ² / 2N

s', estimador esbiaixat de σ

A diferència del que succeeix amb la distribució mostral de les mitjanes aritmètiques, en què

μ_M = μ

la relació anàloga no és certa en el cas de la distribució de les desviacions estàndard.

Per tant s' és un estimador esbiaixat de σ.

La desviació estàndard modificada

Es demostra que si en la definció de la desviació estàndard mostral substutuïm el denominador N pel denominador N-1,

s² = Σ(x_i-M)² / ( N-1 )

aleshores obtenim un estimador no esbiaixat de la desviació estàndard poblacional σ.

Reprenent l'exemple del primer apartat del tema anterior, U={3, 4, 5, 9}, en què μ = 5,25 i σ² = 5,188 , calcularem la desviació estàndard normal i la modificada per a totes les mostres possibles de dos elements. Els resultats són

{3, 3}    s'²=0,000;    s²= 0,000
{3, 4}    s'²=0,250;    s²= 0,500
{3, 5}    s'²=1,000;    s²= 2,000
{3, 9}    s'²=9,000;    s²=18,000
{4, 3}    s'²=0,250;    s²= 0,500
{4, 4}    s'²=0,000;    s²= 0,000
{4, 5}    s'²=0,250;    s²= 0,500
{4, 9}    s'²=6,250;    s²=12,500
{5, 3}    s'²=1,000;    s²= 2,000
{5, 4}    s'²=0,250;    s²= 0,500
{5, 5}    s'²=0,000;    s²= 0,000
{5, 9}    s'²=4,000;    s²= 8,000
{9, 3}    s'²=9,000;    s²=18,000
{9, 4}    s'²=6,250;    s²=12,500
{9, 5}    s'²=4,000;    s²= 8,000
{9, 9}    s'²=0,000;    s²= 0,000

Fent les respectives mitjanes obtenim

μ_s'² = 2,594
μ_s² = 5,188

Comprovem doncs que s, i no pas s', és el veritable estimador no esbiaixat de σ.

De les definicions de s' i s es dedueix immediatament que

s = s' ( N / N-1 )^1/2

A mesura que les mostres es van fent grans, la diferència entre s' i s va perdent importància, ja que el factor ( N / N-1 )^1/2 tendeix ràpidament a 1 (per exemple, 1,017 quan N=30 i 1,005 quan N=100).