18. Dispersió i covariància

Índex | Anterior | Següent | Taules

 

Descripcions mitjançant diverses variables

Molt sovint una població és descrita mitjançant dues o més variables.

Per exemple, un conjunt de persones pot ésser descrit mitjançant l'alçada i el pes de cada un dels individus.

En aquests casos podem analitzar les dades per separat: per exemple, la mitjana aritmètica i la desviació estàndard de les alçades, o els mateixos paràmetres dels pesos. Però molt sovint ens interessa a més analitzar si entre les dues variables hi ha alguna mena de relació.

 

Diagrames de dispersió

Una primera forma d'analitzar la relació entre dues variables quantitatives és l'ús d'un diagrama de dispersió. En un diagrama de dispersió cada individu és representat per un punt P_i, les coordenades del qual corresponen als valors que hi adquireixen les dues variables, que anomenem x i y.

El gràfic resultant pot presentar diversos aspectes:

• Els punts es situen regularment damunt la trajectòria d'una línia de forma senzilla: recta, paràbola, funció exponencial, etc.: diagrama de l'esquerra.
• Els punts es disposen en forma de núvol, de manera que no s'hi pot endevinar cap mena de regularitat: diagrama de la dreta.
• I, entre aquests dos extrems, poden presentar-se tota mena de situacions intermèdies, en què els punts adoptin més o menys la forma d'una línia senzilla, sense coincidir-hi exactament: diagrama central.

 

Covariància

Quan considerem una sola variable, la variància estableix una mesura de la dispersió dels valors en relació a la mitjana aritmètica.

Quan considerem dues variables establim, d'una manera anàloga, el concepte de covariància. La covariància mesura doncs el grau de dispersió al voltant d'un punt central expressat per (μ_x, μ_y).

La covariància es defineix així:

σ_xy = Σ [(x_i-μ_x)(y_i-μ_y)] / N

La covariància de la població (3, 5), (7, 9), (6, 4), (8, 6), (9, 7) es calcula així:

μ_x = ( 3+7+6+8+9 ) / 5 = 6,6
μ_y = ( 5+9+4+6+7 ) / 5 = 6,2

σ_xy = [ (-3,6) . (-1,2) + 0,4 . 2,8 + (-0,6) . (-2,2) + 1,4 . (-0,2) + 2,4 . 0,8 ] / 5 = 8,40 / 5 = 1,68

 

Línies d'ajustament i correlació

El fet que un diagrama de dispersió suggereixi d'una manera més o menys gran una línia ens porta a formular-nos immediatament dues preguntes:

• Quina és la línia que explica millor les dades reals? D'aquesta línia en diem línia d'ajustament.
• En quina mesura la línia d'ajustament explica les dades reals? Això ens porta a establir el concepte de correlació.