19. Afinació pitagòrica
|
Nota prèvia La base del sistema pitagòric Cicle de quintes i tancament Escala diatònica Escala pentatònica Escala referida al do Escala cromàtica Anàlisi dels intervals |
Anterior Següent Índex |
Nota prèvia
En aquest tema i en tots els que segueixen s'exposen les idees bàsiques de cada una de les diverses afinacions tractades i el resultat que se'n deriva. En fer-ho s'explica la idea bàsica pròpia de cada una, però amb una formulació matemàtica actual, i referida sempre - llevat que es digui el contrari - a freqüències de sons, no pas a longituds de cordes o anàlegs, independentment de com ho formulés l'autor.
D'altra banda, quan una afinació té una pervivència molt llarga, no se'n pretén fer la història: per això es parla, per exemple, del sistema pitagòric i immediatament es passa a parlar de l'adaptació que se'n va fer cap al 1400.
La base del sistema pitagòric
A l'antiga Grècia, Pitàgores (580aC? - 500aC?) va transformar les observacions empíriques anteriors en formulacions matemàtiques, i en va derivar una incipient teoria musical. No va deixar registre escrit de les seves idees, ja que la seva filosofia era de caràcter esotèric i demanava als deixebles de no revelar-ne els secrets. Probablement va fer servir el monocord.
Després de la mort de Pitàgores, el seu deixeble Philolaos va donar a conèixer la teoria, però només coneixem les seves explicacions per la notícia fragmentària que en féu Nicòmac de Gerasa (segle II aC).
L'anomenat sistema pitagòric es basa en la consideració de l'interval de quinta (3/2) com interval generador, a partir del qual obté, per aplicació successiva, totes els altres graus de l'escala.
Cal notar que un procediment essencialment coincident era conegut pels xinesos des de molt abans.
Cicle de quintes i tancament
Atès el procediment de construcció de l'escala, els intervals de quinta resulten tots exactes. Però en arribar al 12è grau, en comptes d'obtenir un altre cop el valor 1, que tancaria exactament el cicle de quintes, obtenim
(3/2)12 = 2-12 312 ===> 2-19 312
que és el valor de la coma pitagòrica.
La quinta que tanca el cicle resultarà doncs de descomptar aquest valor de la coma de Pitàgores del de la tercera exacta:
(3/2) / 2-19 312 = 218 3-11 = 262144 / 177147 = 1,4798 (678,5 cents)
Si no fessim aquest tancament forçat, podríem estendre el procediment d'obtenció de notes tan enllà com volguéssim i mai no n'obtindríem cap que coincidís exactament amb una d'anterior.
 |
Escala diatònica
Aplicant el mètode de Pitàgores per a valors d'n compresos només entre -3 i +3 obtenim una escala diatònica:
| -3 | (3/2)-3 = 8/27 ===> 32/27 |
| -2 | (3/2)-2 = 4/9 ===> 16/9 |
| -1 | (3/2)-1 = 2/3 ===> 4/3 |
| 0 | (3/2)0 = 1 |
| 1 | (3/2)1 = 3/2 |
| 2 | (3/2)2 = 9/4 ===> 9/8 |
| 3 | (3/2)3 = 27/8 ===> 27/16 |
Ordenant aquests valors tenim
| 1/1 | 9/8 | 32/27 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 16/9 |
Tots els intervals entre notes consecutives es redueixen a dos, 9/8 i 256/243 (90,2 cents).
Entre la tercera nota i la segona hi ha un interval de
(32/27) / (9/8) = 256/243 (90,2 cents)
Aquest interval rep el nom de leimma (= romanent) o semitò diatònic pitagòric.
I anàlogament entre la sisena nota i la setena.
Tots els altres intervals són de 9/8; per exemple, entre quarta i la cinquena és
(3/2) / (4/3) = 9/8 (203,9 cents)
Entre la primera nota i la quarta hi ha una quarta, i entre la cinquena i la vuitena també:
(4/3) / (1/1) = 4/3
(2/1) / (3/2) = 4/3
Tenim doncs dos tetracords separats per un to enter, és a dir, una escala diatònica.
Els semitons es troben entre les notes segona i tercera i sisena i setena. Més específicament, doncs, hem obtingut el mode frigi de l'escala diatònica (mode dòric en la terminologia medieval). En la terminologia actual, hem obtingut una escala diatònica de re a re'.
Escala pentatònica
Si en comptes d'aplicar el sistema entre -3 i +3 ho fem entre -2 i +2 obtindrem una escala pentatònica:
re mi sol la do re'
Escala referida al do
Si a la successió d'intervals generats pel sistema pitagòric entre -3 i +3 hi apliquem un factor constant de valor 9/8 (o, el que és el mateix, apliquem la fórmula de la quinta generatriu entre -1 i 5), els valors dels intervals no variaran; simplement haurem desplaçat l'escala.
D'aquesta manera haurem obtingut una escala de do a do:
| do | (3/2)0 = 1 | 0 |
| re | (3/2)2 = 9/4 ===> 9/8 | 203,9 |
| mi | (3/2)4 = 81/16 ===> 81/64 | 407,8 |
| fa | (3/2)-1 = 2/3 ===> 4/3 | 498,0 |
| sol | (3/2)1 = 3/2 | 702,0 |
| la | (3/2)3 = 27/8 ===> 27/16 | 905,9 |
| si | (3/2)5 = 243/32 ===> 243/128 | 1109,8 |
Escala cromàtica
Ampliant els càlculs de l'escala anterior, amb centre en el do, per tots dos extrems podem obtenir les notes alterades (sostinguts i bemolls):
| ... | ... | ... |
| solb | (3/2)-6= 64/729 ====> 1024/729 | 588,3 |
| reb | (3/2)-5= 32/243 ===> 256/243 | 90,2 |
| lab | (3/2)-4 = 16/81 ===> 128/81 | 792,2 |
| mib | (3/2)-3 = 8/27 ====> 32/27 | 294,1 |
| sib | (3/2)-2 = 4/9 ====> 16/9 | 996,1 |
| ... | ... | ... |
| fa# | (3/2)6 = 729/32 ====> 729/512 | 611,7 |
| do# | (3/2)7 = 2187/64 ===> 2187/2048 | 113,7 |
| sol# | (3/2)8 = 6561/128 ===> 6561/4096 | 815,6 |
| re# | (3/2)9= 19683/256 ===> 19683/16384 | 317,6 |
| la# | (3/2)10= 59049/512 ====> 59049/32768 | 1019,6 |
| ... | ... | ... |
De les diverses possibilitats pel que fa al tancament del cicle de quintes, inicialment es va fer servir la que el desenvulopa entre el mib i el sol#. Cap al 1400 es va iniciar la tendència a construir l'escala només a partir dels bemolls, és a dir, a posar com a límits el solb i el si:
| do | 0,0 |
| reb | 90,2 |
| re | 203,9 |
| mib | 294,1 |
| mi | 407,8 |
| fa | 498,0 |
| solb | 588,3 |
| sol | 702,0 |
| lab | 792,2 |
| la | 905,9 |
| sib | 996,1 |
| si | 1109,8 |
Anàlisi dels intervals
A continuació es presenten els principals intervals; a la segona columna de les tres primeres taules s'indica la desviació en relació a l'interval exacte corresponent; a la darrera, un exemple típic. Els exemples sonors il·lustren l'interval, però no necessàriament un punt de l'escala en què realment es presenti.
| Quintes | ||||
|---|---|---|---|---|
| 702,0 | 0,0 |  |
Justa (3/2) Totes excepte la de tancament. |
do - sol |
| 700,0 | -2,0 | |
UT (27/12) Absent. |
- |
| 678,5 | -23,5 | |
De llop pitagòrica, [18 -11] Només si - solb (antigament sol# - mib). |
si - solb |
| Terceres Majors | ||||
|---|---|---|---|---|
| 407,8 | 21,5 | |
Pitagòrica (81/64) Terceres majors que no incorporen la quinta de tancament. |
do - mi |
| 400,0 | 13,7 | |
UT (21/3) Absent. |
- |
| 386,3 | 0,0 | |
Justa (5/4) Absent. |
- |
| 384,4 | -1,9 | Terceres majors que incorporen la quinta de tancament. | re - solb | |
| Terceres menors | ||||
|---|---|---|---|---|
| 317,6 | 1,9 | [-14 9] Terceres menors que incorporen la quinta de tancament (en sentit antihorari). |
reb - mi | |
| 315,6 | 0,0 | |
Justa (6/5) Absent. |
- |
| 300,0 | -15,6 | |
UT (21/4) Absent. |
- |
| 294,1 | -21,5 | |
Pitagòrica (32/27) Terceres menors que no incorporen la quinta de tancament (en sentit antihorari). |
do - mib |
| Altres intervals | |||
|---|---|---|---|
| 203,9 | To enter (9/8) | Tons enters que no incorporen la quinta de tancament. | do - re |
| 90,2 | Semitò diatònic pitagòric o leimma (256/243) |
Tots els intervals entre una nota no alterada i el bemoll superior i tots els intervals entre un sostingut i la nota no alterada superior. | do - reb |
| 113,7 | Semitò pitagòric cromàtic o apotome (2187/2048) |
Tots els intervals entre una nota no alterada i el sostingut superior i tots els intervals entre un bemoll i la nota no alterada superior. | reb - mi |
Cal notar que
- Una tercera major pitagòrica excedeix l'exacta en 81/80 (coma de Dídim).
- Una tercera major pitagòrica i una tercera menor pitagòrica formen una quinta exacta: (81/64) · (32/27) = 3/2.
- Una leimma i un apotome formen un to enter: (256/243) · (2187/2048) = 9/8.
L'interval de tercera pitagòrica és força dissonant. Consta, però, que en començar l'ús de la polifonia, es feia servir: s'evitava en les cadències finals, però sovint s'emprava en la preparació d'una quinta.
 |
| Anàlisi gràfica de l'afinació (versió posterior al 1400) |