22. To mitjà
|
Concepte de temperament To mitjà Escala Anàlisi dels intervals |
Anterior Següent Índex |
Concepte de temperament
El sistema pitagòric parteix només de l'octava exacta, 2/1, i de la quinta exacta, 3/2. No aconsegueix tancar el cicle de quintes (coma de Pitàgores) i les terceres majors que obté, de valor 81/64, són molt allunyades de les ideals, de valor 5/4. El sistema de Zarlino força el valor exacte de les terceres majors i menors, però a canvi ha de sacrificar algunes quintes, algunes terceres majors i algunes terceres menors. A més, provoca l'aparició dos tons enters diferents, de valors 9/8 i 10/9.
Per a resoldre els problemes generats per aquestes situacions, s'ha recorregut a diverses fórmules de temperament. El procediment general consisteix a definir quintes inexactes incorporant-hi fraccions irracionals, definides a partir de la coma sintònica o de la coma de Pitàgores. Si volem fer una anàlisi factorial d'aquestes afinacions hem de recórrer a fraccions, i el procediment perd bona part del seu sentit.
S'han fet moltes afinacions temperades, fins que darrerament s'ha generalitzat el temperament uniforme; per raons històriques i pel procediment emprat en destacarem tres:
- To mitjà,
- Werkmeister III, i
- Kirnberger III
To mitjà
L'ecala de Zarlino, en relació a la Pitagòrica, presentava diversos inconvenients, entre els quals l'existència de dos tons enters diferents, 9/8 i 10/9. En canvi, presentava una avantatge innegable: aquests dos tons conjuntament formaven una tercera major exacta:
(9/8) · (10/9) = 5/4
Ja cap als volts de 1500 Pietro Aaron indica la conveniència de comptar amb un sol to enter.
De les diverses fórmules possibles per a aconseguir-ho, anomenades de to mitjà, n'hi ha una que resulta òptima per tal com reuneix dues importants propietats:
- Com en el cas de l'afinació pitagòrica, el to enter té un únic valor, i
- Com en el cas de l'afinació de Zarlino, dos tons enters fan una tercera major exacta.
Comencem definint el to enter mitjà com
(5/4)1/2 = 1,1180 (193,2 cents)
En un cicle de quintes el to enter resulta de l'acumulació de dues quintes (i reducció a l'octava de referència). Per tant el valor de la quinta ajustada serà
[(5/4)1/2]1/2 = (5/4)1/4 ===> 51/4 = 1,4953 (696,6 cents)
La relació entre aquest valor i l'exacte és
51/4 / (3/2) = (80/81)1/4
que s'anomena d'un quart de coma sintònica
Si acumuléssim 12 quintes de valor 51/4 seria
(51/4)12 = 53 ===> 2-6 53
La diferència fins a l'octava exacta és
2 / (2-6 53) = 27 5-3
que és la diesi menor de Rameau.
La quinta que tancarà el cicle haurà de tenir doncs el valor
51/4 · 27 5-3 = 27 5-11/4 = 1,5313 (737,7 cents)
Aquesta discrepància en el tancament del cicle era una dificultat greu; alguns orgues van resoldre-ho amb dues tecles negres seguides per a les notes situades en els extrems no coincidents del cicle de quintes.
 |
Escala
L'aplicació del procediment esmentat dóna lloc al resultat següent:
| Nota | Valor pitagòric | Correcció | Valor decimal | Cents |
|---|---|---|---|---|
| ... | ... | ... | ... | ... |
| lab | 128/81 | 0,9969-4 = 1,0125 | 1,6000 | 813,7 |
| mib | 32/27 | 0,9969-3 = 1,0094 | 1,1963 | 310,3 |
| sib | 16/9 | 0,9969-2 = 1,0062 | 1,7889 | 1006,8 |
| fa | 4/3 | 0,9969-1 = 1,0031 | 1,3375 | 503,4 |
| do | 1/1 | 0,99690 = 1,0000 | 1,0000 | 0,0 |
| sol | 3/2 | 0,99691 = 0,9969 | 1,4953 | 696,6 |
| re | 9/8 | 0,99692 = 0,9938 | 1,1180 | 193,2 |
| la | 27/16 | 0,99693 = 0,9907 | 1,6719 | 889,7 |
| mi | 81/64 | 0,99694 = 0,9877 | 1,2500 | 386,3 |
| si | 243/128 | 0,99695 = 0,9846 | 1,8692 | 1082,9 |
| fa# | 729/512 | 0,99696 = 0,9815 | 1,3975 | 579,5 |
| do# | 2187/2048 | 0,99697 = 0,9785 | 1,0449 | 76,0 |
| sol# | 6561/4096 | 0,99698 = 0,9755 | 1,5625 | 772,6 |
| re# | 19683/16384 | 0,99699 = 0,9724 | 1,1682 | 269,2 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
Ordenant els valors anteriors i desenvolupant el cicle de quintes només entre -3 i +8 (una de les diverses possibilitats), tenim l'escala següent:
| do | 0,0 |
| do# | 76,0 |
| re | 193.2 |
| mib | 310.3 |
| mi | 386.3 |
| fa | 503.4 |
| fa# | 579.5 |
| sol | 696.6 |
| sol# | 772.6 |
| la | 889.7 |
| sib | 1006.8 |
| si | 1082.9 |
| do' | 1200,0 |
Anàlisi dels intervals
A continuació es presenten els principals intervals; a la segona columna s'indica la desviació en relació a l'interval exacte corresponent, i a la darrera, un exemple típic. Els exemples sonors il·lustren l'interval, però no necessàriament un punt de l'escala en què realment es presenti.
| Quintes | ||||
|---|---|---|---|---|
| 702,0 | 0,0 |  |
Justa (3/2) Absent |
- |
| 700,0 | -2,0 | |
UT Absent |
- |
| 696,6 | -5,4 | |
de to mità (51/4) Totes excepte la de tancament. |
do - sol |
| Terceres Majors | ||||
|---|---|---|---|---|
| 400,0 | 13,7 | |
UT (21/3) Absent |
- |
| 386,3 | 0,0 | |
Justa (5/4) Totes excepte les que incorporen la quinta de tancament. |
do - mi |
| Terceres menors | ||||
|---|---|---|---|---|
| 315,6 | 0,0 | |
Justa (6/5) Absent |
- |
| 310,3 | -5,3 | de to mitjà Totes excepte les que incorporen la quinta de tancament (sentit antihorari). |
do - mib | |
| 300,0 | -15,6 | |
UT Absent |
- |
| Altres intervals | ||||
|---|---|---|---|---|
| 193,2 | - | To enter mitjà Tons enters que no incorporen cap quinta modificada. |
do - re | |
| 117,2 | - | Semitò diatònic de to mitjà Hi intervé la quinta de tancament. |
mi - fa | |
| 76,0 | - | Semitò cromàtic de to mitjà No hi intervé la quinta de tancament. |
do - do# | |
Cal notar que
- Les quintes són força exactes, excepte la de tancament
- Les terceres majors són exactes, però aquelles en què intervé la quinta de tancament s'allunyen moltíssim del valor exacte.
- Les terceres menors resulten bastant exactes, excepte aquelles en què intervé la quinta de tancament, que resulten molt inexactes.
- La suma dels dos semitons és un to enter.
 |
| Anàlisi gràfica de l'afinació |