25. Temperaments uniformes

Concepte de temperament uniforme Càlculs Algunes escales uniformes notables Les comes de Mercator Valors dels intervals en comes de Mercator Representació gràfica de les escales uniformes

Anterior Següent Índex

---

Concepte de temperament uniforme

La idea de dividir l'octava en un nombre d'intervals iguals ja fou suggerida pel filòsof grec Aristoxenos. També Zarlino, conscient de les limitacions del seu sistema, va advocar per la mateixa idea. Els diversos temperaments no uniformes es poden considerar tempteigs que s'hi acostaven.

La idea bàsica dels temperaments uniformes de les escales amb octava consisteix a establir intervals elementals de la forma

2^1/n

on n és el nombre de notes de l'escala. Els intervals corresponents als diversos graus g d'una escala uniforme d'n graus són donats per l'expressió

i = 2^g/n

Si expressem els intervals en cents, el valor de l'interval elemental és

1200 / n

i el de cada interval

i_c = 1200 · g / n

El problema invers consisteix a calcular el grau g a partir de les altres variables. Aplicant logaritmes a la segona de les igualtats anteriors tenim

log i = (g/n) log 2

d'on

g = n ·log i / log 2

I partint de la quarta fórmula tenim que

g = n · i_c / 1200

Cal notar que el valor de g ha d'ésser, per definició de grau d'una escala, un valor enter, de manera que els valors donats per les dues darreres fórmules s'han d'arrodonir, i d'aquest arrodoniment sorgeix un error. Òbviament una escala òptima serà aquella en què els intervals desitjats es produeixin amb el menor error possible.

 

Càlculs

Aquesta eina de càlcul permet obtenir els valors d'un interval determinat donant valor a n i a g:

Entreu els valors del nombre de graus de l'escala (n) i el del grau desitjat (g); n'obtindreu el valor decimal i en cents.	n
	g
	decimal
	cents

Aquesta eina indica els graus que més s'aproximen a la quinta exacta, a la tercera major exacta i a la tercera menor exacta en una escala d'n graus:

Entreu els valors del nombre de graus (n); obtindreu els números corresponents als graus més aproximats a tres intervals exactes: quinta, tercera major i tercera menor, i els valors que realment correspon als graus obtinguts.	n
	Quinta (702,0)
	Tercera Major (386,3)
	Tercera menor (315,6)

 

Algunes escales uniformes notables

Es pot fer una escala uniformement temperada per a qualsevol nombre de notes per octava.

La de 19 tons s'ajusta molt bé a les terceres menors: el grau cinquè hi té un valor de 315,8 cents, molt proper a l'exacte, 315,6.

La de 31 tons s'ajusta molt bé a les terceres majors: el grau desè hi té un valor de 387,1 cents, molt proper a l'exacte, 386,3.

Pel que fa a les quintes, resulten molt adequades la de 12 tons (amb un setè grau de 700 cents) i la de 53 tons (amb un trenta-unè grau de 701,9 cents), que s'aproximen molt al valor exacte, 702 cents.

L'escala uniformement temperada de 12 tons és la que es fa servir habitualment avui en la música de tradició europea. La de 19 s'acosta a una de les escales àrabs. La de 31 s'acosta molt a la que va establir Nicola Vicentino el segle XVI. I la de 53 dóna lloc a una unitat de compte anomenada coma de Mercator. I, finalment, la mesura dels intervals en cents no és altra cosa que l'aplicació d'una escala uniformement temperada de 1200 graus.

 

Les comes de Mercator

Tota aquesta problemàtica fou empresa d'una manera analítica i centrada en la quinta (3/2) per dos investigadors, l'anglès William Holder (1614-1696) i l'alemany Nicolaus Kauffmann Mercator (1620-1687), independentment l'un de l'altre. Tots dos van establir les importants propietats de l'escala uniforme de 53 graus.

El mèrit de Holder i de Mercator fou el del plantejament del concepte i el desenvolupament de mètodes analítics per a calcular els resultats.

L'interval corresponent a la divisió de l'escala en 53 graus uniformes es coneix amb el nom de coma de Mercator:

C_M = 2^1/53 = 1,0132

que equival a 22,6415 cents.

L'acumulació de 53 quintes exactes difereix de 31 octaves és

(3/2)⁵³ / 2³¹ = 2151972563 / 2147483648 = 1,0021

que correspon a 3,61 cents.

Una aproximació rellevantment millor ens portaria fins a n=306.

 

Valor dels intervals en comes de Mercator

Tot i que el sistema de Mercator no va esdevenir mai una escala en el sentit propi de la paraula, té un especial interès teòric.

Els intervals bàsics de l'escala pitagòrica es poden expressar mitjançant nombres enters de comes, amb un error molt petit, com ho mostra el quadre següent:

octava	2/1	53,00
quinta	3/2	31,00
quarta	4/3	22,00
tercera major	81/64	18,01
tercera menor	32/27	12,99
to	9/8	9,01
semitò cromàtic (apotome)	2187/2048	5,02
semitò diatònic (leimma)	256/243	3,98

El to enter es divideix en 9 comes; la distància entre un bemoll i un sostingut no igualats enharmònicament és d'1 coma (diferència entre els dos semitons).

Aplicat als intervals de l'escala de Zarlino, el nombre de comes de Mercator que correspon a cada interval resulta una mica menys proper a un nombre enter:

tercera major	5/4	17,06
tercera menor	6/5	13,94
to enter menor	10/9	8,06

 

Representació gràfica de les escales uniformes

En aquesta taula es presenta una descripció de les escales uniformement temperades fins a 150 notes per octava. Les preguntes que s'hi responen són les següents: amb quina qualitat d'ajustament cada escala conté una quinta, una tercera major i una tercera menor exactes? I quin grau hi ocupen? La qualitat de l'ajustament s'indica mitjançant un color: el color verd indica un bon ajustament; una menor exactitud dóna pas als tons més grocs i finalment al blanc.

n	Quinta (702,0)		Tercera Major (386,3)		Tercera menor (315,6)
	g	cents	g	cents	g	cents
1	1	1200	0	0	0	0
2	1	600	1	600	1	600
3	2	800	1	400	1	400
4	2	600	1	300	1	300
5	3	720	2	480	1	240
6	4	800	2	400	2	400
7	4	686	2	343	2	343
8	5	750	3	450	2	300
9	5	667	3	400	2	267
10	6	720	3	360	3	360
11	6	655	4	436	3	327
12	7	700	4	400	3	300
13	8	738	4	369	3	277
14	8	686	5	429	4	343
15	9	720	5	400	4	320
16	9	675	5	375	4	300
17	10	706	5	353	4	282
18	11	733	6	400	5	333
19	11	695	6	379	5	316
20	12	720	6	360	5	300
21	12	686	7	400	6	343
22	13	709	7	382	6	327
23	13	678	7	365	6	313
24	14	700	8	400	6	300
25	15	720	8	384	7	336
26	15	692	8	369	7	323
27	16	711	9	400	7	311
28	16	686	9	386	7	300
29	17	703	9	372	8	331
30	18	720	10	400	8	320
31	18	697	10	387	8	310
32	19	713	10	375	8	300
33	19	691	11	400	9	327
34	20	706	11	388	9	318
35	20	686	11	377	9	309
36	21	700	12	400	9	300
37	22	714	12	389	10	324
38	22	695	12	379	10	316
39	23	708	13	400	10	308
40	23	690	13	390	11	330
41	24	702	13	380	11	322
42	25	714	14	400	11	314
43	25	698	14	391	11	307
44	26	709	14	382	12	327
45	26	693	14	373	12	320
46	27	704	15	391	12	313
47	27	689	15	383	12	306
48	28	700	15	375	13	325
49	29	710	16	392	13	318
50	29	696	16	384	13	312
51	30	706	16	376	13	306
52	30	692	17	392	14	323
53	31	702	17	385	14	317
54	32	711	17	378	14	311
55	32	698	18	393	14	305
56	33	707	18	386	15	321
57	33	695	18	379	15	316
58	34	703	19	393	15	310
59	35	712	19	386	16	325
60	35	700	19	380	16	320
61	36	708	20	393	16	315
62	36	697	20	387	16	310
63	37	705	20	381	17	324
64	37	694	21	394	17	319
65	38	702	21	388	17	314
66	39	709	21	382	17	309
67	39	699	22	394	18	322
68	40	706	22	388	18	318
69	40	696	22	383	18	313
70	41	703	23	394	18	309
71	42	710	23	389	19	321
72	42	700	23	383	19	317
73	43	707	23	378	19	312
74	43	697	24	389	19	308
75	44	704	24	384	20	320
76	44	695	24	379	20	316
77	45	701	25	390	20	312
78	46	708	25	385	21	323
79	46	699	25	380	21	319
80	47	705	26	390	21	315
81	47	696	26	385	21	311
82	48	702	26	380	22	322
83	49	708	27	390	22	318
84	49	700	27	386	22	314
85	50	706	27	381	22	311
86	50	698	28	391	23	321
87	51	703	28	386	23	317
88	51	695	28	382	23	314
89	52	701	29	391	23	310
90	53	707	29	387	24	320
91	53	699	29	382	24	316
92	54	704	30	391	24	313
93	54	697	30	387	24	310
94	55	702	30	383	25	319
95	56	707	31	392	25	316
96	56	700	31	388	25	313
97	57	705	31	384	26	322
98	57	698	32	392	26	318
99	58	703	32	388	26	315
100	59	708	32	384	26	312
101	59	701	33	392	27	321
102	60	706	33	388	27	318
103	60	699	33	384	27	315
104	61	704	33	381	27	312
105	61	697	34	389	28	320
106	62	702	34	385	28	317
107	63	707	34	381	28	314
108	63	700	35	389	28	311
109	64	705	35	385	29	319
110	64	698	35	382	29	316
111	65	703	36	389	29	314
112	66	707	36	386	29	311
113	66	701	36	382	30	319
114	67	705	37	389	30	316
115	67	699	37	386	30	313
116	68	703	37	383	31	321
117	68	697	38	390	31	318
118	69	702	38	386	31	315
119	70	706	38	383	31	313
120	70	700	39	390	32	320
121	71	704	39	387	32	317
122	71	698	39	384	32	315
123	72	702	40	390	32	312
124	73	706	40	387	33	319
125	73	701	40	384	33	317
126	74	705	41	390	33	314
127	74	699	41	387	33	312
128	75	703	41	384	34	319
129	75	698	42	391	34	316
130	76	702	42	388	34	314
131	77	705	42	385	34	311
132	77	700	42	382	35	318
133	78	704	43	388	35	316
134	78	699	43	385	35	313
135	79	702	43	382	36	320
136	80	706	44	388	36	318
137	80	701	44	385	36	315
138	81	704	44	383	36	313
139	81	699	45	388	37	319
140	82	703	45	386	37	317
141	82	698	45	383	37	315
142	83	701	46	389	37	313
143	84	705	46	386	38	319
144	84	700	46	383	38	317
145	85	703	47	389	38	314
146	85	699	47	386	38	312
147	86	702	47	384	39	318
148	87	705	48	389	39	316
149	87	701	48	387	39	314
150	88	704	48	384	39	312